前言：
當(dāng)產(chǎn)品、流程或系統(tǒng)須進(jìn)行改善時(shí)，負(fù)責(zé)人員常須判斷改善前后數(shù)據(jù)的不同，是由改變的效應(yīng)所造成，或只是單純來(lái)自實(shí)驗(yàn)誤差(experimental error)的結(jié)果，其實(shí)并無(wú)顯著差異。
以多層陶瓷電容器﹙Multilayer Ceramic Capacitors﹚為例，內(nèi)部電極厚度﹙inner electrode thickness﹚是網(wǎng)版印刷﹙screen printing﹚製程中相當(dāng)重要的的品質(zhì)特性，在“相同”的製程條件設(shè)定與生產(chǎn)環(huán)境下，不同生產(chǎn)批次所量測(cè)的內(nèi)部電極厚度數(shù)據(jù)自然就有不同程度的差異。因此當(dāng)製程工程師須比較供應(yīng)商所提供的新型網(wǎng)版與現(xiàn)行網(wǎng)版對(duì)內(nèi)部電極厚度是否有不同的效果，進(jìn)而安排并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后，緊接著就要面臨如何分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，才能合理推斷兩種網(wǎng)版在印刷製程中對(duì)內(nèi)部電極厚度所造成的效果有顯著差異，或是實(shí)驗(yàn)觀察的結(jié)果只是來(lái)自實(shí)驗(yàn)誤差的決策問(wèn)題。
此時(shí)，顯著性檢定(significance testing)，又稱為假設(shè)檢定(hypothesis testing)，就在協(xié)助我們針對(duì)類似上述的效果比較問(wèn)題，選擇適當(dāng)?shù)臋z定統(tǒng)計(jì)量及運(yùn)用對(duì)應(yīng)的抽樣分配，在可容忍的錯(cuò)誤機(jī)率前提下，判斷實(shí)驗(yàn)因子水準(zhǔn)(如新型網(wǎng)版與現(xiàn)行網(wǎng)版)改變后的結(jié)果，是否存在值得我們注意的顯著性差異。
實(shí)驗(yàn)誤差：
在正式介紹顯著性檢定的程序之前，先說(shuō)明實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生誤差的必然性。
當(dāng)實(shí)驗(yàn)在盡可能相同的條件下重複進(jìn)行，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)據(jù)不會(huì)完全相同，這種在重複實(shí)驗(yàn)情形下所產(chǎn)生的波動(dòng)稱為實(shí)驗(yàn)誤差。實(shí)驗(yàn)誤差是由系統(tǒng)的機(jī)遇變異原因(chance cause)所造成，是無(wú)法避免的，比如：量測(cè)儀器和實(shí)驗(yàn)設(shè)備有限的精度、環(huán)境溫度與濕度的細(xì)微變化、材料本身的純度問(wèn)題、以及操作人員的技術(shù)等都可能是造成實(shí)驗(yàn)誤差的因素。
因此實(shí)驗(yàn)者必須認(rèn)知實(shí)驗(yàn)誤差的存在，對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差與相對(duì)應(yīng)的機(jī)率理論，﹙根據(jù)中央極限定理，實(shí)驗(yàn)誤差會(huì)近似常態(tài)分配﹚，要有基本的了解，才能建立將來(lái)學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析所必備的扎實(shí)基礎(chǔ)。但在這里要特別注意實(shí)驗(yàn)“誤差”不同于實(shí)驗(yàn)“錯(cuò)誤”，比如：實(shí)驗(yàn)條件設(shè)定錯(cuò)誤、看錯(cuò)或記錯(cuò)量測(cè)數(shù)據(jù)、操作程序或量測(cè)程序錯(cuò)誤、用錯(cuò)材料等。
統(tǒng)計(jì)量﹙statistic﹚與抽樣分配﹙sampling distribution﹚：
因?yàn)閷?shí)驗(yàn)誤差的存在，實(shí)驗(yàn)的反應(yīng)變數(shù)(response variable)，如內(nèi)部電極厚度，是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)(random variable)，其機(jī)率結(jié)構(gòu)可用機(jī)率分配(probability distribution)來(lái)表示。實(shí)務(wù)上，隨機(jī)變數(shù)機(jī)率分配的平均值﹙μ﹚或變異數(shù)﹙σ2﹚等母體參數(shù)(population parameter)的真值是未知的，必須利用隨機(jī)樣本觀測(cè)值，透過(guò)樣本平均值﹙.jpg)
﹚或樣本變異數(shù)﹙s2﹚的公式，計(jì)算得到樣本平均值或樣本變異數(shù)來(lái)推估平均值或變異數(shù)等母體參數(shù)的真值。
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統(tǒng)計(jì)量定義為隨機(jī)樣本觀測(cè)值的函數(shù)，用來(lái)推論未知母體參數(shù)，因此，.jpg)
和s2均是統(tǒng)計(jì)量。而統(tǒng)計(jì)量的機(jī)率分配稱為抽樣分配，常態(tài)分配、t分配、卡方分配、F分配等都是常見的抽樣分配。(只要知道隨機(jī)樣本是來(lái)自何種類型的母體分配，通常就能夠決定統(tǒng)計(jì)量是屬于哪一種類型的抽樣分配，細(xì)節(jié)可參閱相關(guān)的統(tǒng)計(jì)推論書籍﹙1﹚。)
新型與現(xiàn)行印刷網(wǎng)版的簡(jiǎn)單比較實(shí)驗(yàn)：
在不影響多層陶瓷電容器相關(guān)電性與內(nèi)部電極連續(xù)性的前提下，製程工程師希望其內(nèi)部電極厚度可以愈薄愈好，如此便可以減少內(nèi)電極膏的單位使用量，進(jìn)而降低產(chǎn)品單位成本。因此當(dāng)供應(yīng)商提供聲稱可以有效降低內(nèi)部電極厚度的新型網(wǎng)版時(shí)，製程工程師便針對(duì)現(xiàn)行網(wǎng)版與新型網(wǎng)版安排并進(jìn)行完全隨機(jī)實(shí)驗(yàn)﹙completely randomized design﹚，分別蒐集10批內(nèi)部電極厚度數(shù)據(jù)，如表1。
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表1：新型網(wǎng)版與現(xiàn)行網(wǎng)版內(nèi)部電極厚度的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)﹙um﹚
這種單純比較兩種條件﹙新型網(wǎng)版與現(xiàn)行網(wǎng)版﹚的實(shí)驗(yàn)，通常稱為簡(jiǎn)單比較實(shí)驗(yàn)。
分別計(jì)算兩種不同種類網(wǎng)版其內(nèi)部電極厚度樣本平均值︰
新型網(wǎng)版內(nèi)部電極厚度樣本平均值
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現(xiàn)行網(wǎng)版內(nèi)部電極厚度樣本平均值
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因?yàn)樵谡５纳a(chǎn)過(guò)程中，批與批之間的數(shù)據(jù)本身就有不同程度的差異，即使兩種網(wǎng)版內(nèi)部電極厚度平均值之間有差異，但是否大到足以顯示兩種網(wǎng)版所造成的效果確實(shí)有差異，或是實(shí)驗(yàn)觀察的差異只是來(lái)自實(shí)驗(yàn)誤差，也許兩種網(wǎng)版其實(shí)效果相同。顯著性檢定便是可以幫助工程師回答此問(wèn)題的一種統(tǒng)計(jì)推論方法。
顯著性檢定(significance testing)：
西元1933年，由波蘭人奈曼(Jerzy Neyman, 1894-1981)，及英國(guó)人皮爾生(Egon Pearson, 1895-1980)，提出著名的奈曼-皮爾生引理(Neyman - Pearson lemma)， 奠定了一套假設(shè)檢定的架構(gòu)。
基本上顯著性檢定可以按照以下的步驟進(jìn)行
1. 陳述虛無(wú)假設(shè)與對(duì)立假設(shè)
2. 選擇顯著水準(zhǔn)
3. 隨機(jī)抽取樣本
4. 計(jì)算檢定統(tǒng)計(jì)量與相對(duì)應(yīng)的p值
5. 決定“拒絕”或“接受” 虛無(wú)假設(shè)
現(xiàn)在就簡(jiǎn)要的介紹每一個(gè)步驟
陳述虛無(wú)假設(shè)與對(duì)立假設(shè)︰
以本文個(gè)案為例，雖然供應(yīng)商宣稱在相同的製程條件下，使用新型網(wǎng)版可以降低內(nèi)部電極厚度，但我們先假設(shè)兩種網(wǎng)版對(duì)內(nèi)部電極厚度的效果沒有差異，再蒐集隨機(jī)樣本，從隨機(jī)樣本中判斷是否有“不尋常的證據(jù)”足以“拒絕”原先的假設(shè)，否則便“接受”原先的假設(shè)。
現(xiàn)在把它轉(zhuǎn)換成統(tǒng)計(jì)假設(shè)問(wèn)題，首先須陳述虛無(wú)假設(shè)（null hypothesis），以Ho表示，通常虛無(wú)假設(shè)表示無(wú)差異，而對(duì)立假設(shè)（alternative hypothesis）則表示有差異，以Ha表示。正式的陳述方式如下：
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雖然我們想證明Ha是真的，然而除非證據(jù)夠強(qiáng)，否則不輕易“拒絕”虛無(wú)假設(shè)，因?yàn)?ldquo;拒絕”虛無(wú)假設(shè)時(shí)，通常就代表要改變現(xiàn)狀，也就是要採(cǎi)用新型網(wǎng)版取代現(xiàn)行網(wǎng)版，當(dāng)然在作決策前須考慮得更周全。因此要從樣本中判斷是否有“不尋常的證據(jù)”足以“拒絕”原先的假設(shè)，只是尋常與不尋常要如何區(qū)隔呢？而其中的關(guān)鍵就在于機(jī)率。
選擇顯著水準(zhǔn)：
顯著水準(zhǔn)﹙α﹚就是以機(jī)率值來(lái)表達(dá)，用來(lái)量化需要多幺“不尋常的證據(jù)”，才能拒絕虛無(wú)假設(shè)，也就是當(dāng)隨機(jī)抽樣樣本出現(xiàn)的機(jī)率值小于α時(shí)，便可以拒絕虛無(wú)假設(shè)，常用的顯著水準(zhǔn)有0.1，0.05，及0.01等，顯著水準(zhǔn)愈小，代表需要愈“不尋常的證據(jù)”，才能否定虛無(wú)假設(shè)。
在本案例中，製程工程師指定顯著水準(zhǔn)α＝0.01，表示隨機(jī)抽樣樣本出現(xiàn)的機(jī)率值小于0.01的事件，可以被視為是機(jī)率理論中的小機(jī)率事件，也就是長(zhǎng)期而言，這樣的事件應(yīng)該在100次試驗(yàn)中平均最多出現(xiàn)一次，因?yàn)槌霈F(xiàn)的機(jī)率相當(dāng)?shù)停韺?shí)際上不太可能會(huì)發(fā)生，而如果在一次的隨機(jī)抽樣中就出現(xiàn)了，便是“不尋常的證據(jù)”，因此懷疑原先假設(shè)的合理性，進(jìn)而“拒絕”虛無(wú)假設(shè)。
隨機(jī)抽取樣本
顯著性檢定假設(shè)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值是獨(dú)立隨機(jī)變數(shù)﹙independent random variables﹚，只要以隨機(jī)方式安排實(shí)驗(yàn)進(jìn)行順序，通常就可以滿足此一假設(shè)。本文案例的實(shí)驗(yàn)順序便是以隨機(jī)方式安排進(jìn)行，如表2。
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表2：以隨機(jī)方式安排實(shí)驗(yàn)進(jìn)行順序
計(jì)算檢定統(tǒng)計(jì)量與相對(duì)應(yīng)的p值：
如圖1所示的盒鬚圖﹙box-and-whisker plot﹚，可以讓實(shí)驗(yàn)者輕易快速的看出兩種網(wǎng)版的內(nèi)部電極厚度數(shù)據(jù)的變異程度大致上是相同的。(兩母體的變異數(shù)是否有顯著性差異，可以利用F統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢定，細(xì)節(jié)可參閱相關(guān)的統(tǒng)計(jì)推論書籍﹙1﹚。)
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圖1：新型網(wǎng)版與現(xiàn)行網(wǎng)版內(nèi)部電極厚度的盒鬚圖
如果新型網(wǎng)版與現(xiàn)行網(wǎng)版內(nèi)部電極厚度的變異數(shù)無(wú)顯著性差異，便可以利用to統(tǒng)計(jì)量來(lái)比較兩母體平均數(shù)。
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其中
和.jpg)
是樣本平均值，n1和n2是樣本數(shù)， 是共同變異數(shù)（common variance）
的估計(jì)量，其公式為
其中
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是樣本變異數(shù)，利用表1的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到檢定統(tǒng)計(jì)量
如果Ho為真時(shí)，則to檢定統(tǒng)計(jì)量的抽樣分配就是符合自由度為n1＋n2－2的t分配，也就是利用t分配，可以描述to檢定統(tǒng)計(jì)量的機(jī)率規(guī)律行為。
因?yàn)閠o＝-6.14，自由度為18，運(yùn)用EXCEL軟體內(nèi)建的t分配統(tǒng)計(jì)函數(shù)，TDIST(x,degrees_freedom,tails)，{ 其中x＝to＝-6.14，degrees_freedom＝自由度＝18，tails＝1表示回傳單尾分配，tails＝2表示回傳雙尾分配，本例為雙尾檢定，因此選擇tails = 2 }，依序輸入函數(shù)內(nèi)所需之?dāng)?shù)值后，可以輕易計(jì)算得到比出現(xiàn)to＝-6.14更極端值的累積機(jī)率值，也就是p值＝0.000008。{ 因?yàn)閠ails = 2，TDIST 以 TDIST ＝ P(|X| > x) ＝ P(X > x or X < -x) 來(lái)計(jì)算 }。
決定“拒絕”或“接受”虛無(wú)假設(shè)
在本案例中，指定顯著水準(zhǔn)α＝0.01，因?yàn)橛?jì)算得到p值＝0.000008小于α，根據(jù)上述小機(jī)率事件不應(yīng)該在一次試驗(yàn)中就出現(xiàn)的原理，也就是說(shuō)，如果Ho為真時(shí)，不應(yīng)該會(huì)出現(xiàn)這樣“不尋常”的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，因此懷疑原先假設(shè)的合理性，進(jìn)而“拒絕”虛無(wú)假設(shè)，所以推論新型網(wǎng)版與現(xiàn)行網(wǎng)版內(nèi)部電極厚度的平均值有顯著性差異。
{ 另一種情形，如果根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算得到p值大于α，則代表樣本未能提供顯著的證據(jù)，不能“拒絕”虛無(wú)假設(shè)，只好“接受”虛無(wú)假設(shè) }。
兩種錯(cuò)誤類型
依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所推論顯著性檢定的結(jié)果，不論是接受或拒絕虛無(wú)假設(shè)都有可能會(huì)犯錯(cuò)誤，以誤判的類型而言，事實(shí)上有兩種可能錯(cuò)誤的機(jī)率，如表3，一種是當(dāng)虛無(wú)假設(shè)為真時(shí)，應(yīng)該接受它，卻拒絕它，稱為第一類型錯(cuò)誤，另一種則是虛無(wú)假設(shè)不為真時(shí)，應(yīng)該拒絕它，卻接受它，稱為第二類型錯(cuò)誤。
表3：第一類型錯(cuò)誤與第二類型錯(cuò)誤
第一類型錯(cuò)誤，以希臘小寫字母α表示，就是前述檢定的顯著水準(zhǔn)，因?yàn)樵跈z定的程序中可以事先指定，所以是我們可以直接控制的錯(cuò)誤風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)檢定計(jì)算所得的p值小于α值時(shí)，因?yàn)檎J(rèn)定如果虛無(wú)假設(shè)為真時(shí)，不應(yīng)該會(huì)出現(xiàn)這樣的抽樣結(jié)果，所以便決定“拒絕”虛無(wú)假設(shè)，但是當(dāng)我們做這樣的決策時(shí)，必須理解雖然發(fā)生的機(jī)率相當(dāng)?shù)?，仍?ldquo;有可能”會(huì)發(fā)生，因此有可能我們做了錯(cuò)誤的決策，這就是所謂的第一類型錯(cuò)誤。為儘量避免造成這種錯(cuò)誤，因此要採(cǎi)取較保守的α值，也就是0.1，0.05，或0.01，當(dāng)考量第一類型錯(cuò)誤所衍生的負(fù)面后果可能愈嚴(yán)重時(shí)，就要指定愈小的α值。
第二類型錯(cuò)誤，則是以希臘小寫字母β表示。而當(dāng)虛無(wú)假設(shè)不為真時(shí)，可以正確的“拒絕”虛無(wú)假設(shè)的能力則稱為檢定力﹙power of test﹚，也就是1減去發(fā)生第二類型錯(cuò)誤的機(jī)率，亦即檢定力＝1－β，一般建議檢定力至少為0.8。在指定顯著水準(zhǔn)﹙α﹚后，在相同的樣本數(shù)下，β值會(huì)直接受到檢定對(duì)象的效果差異量﹙effect size﹚的影響，效果差異量愈大，愈容易被發(fā)現(xiàn)其存在顯著差異，β值就愈低，檢定力也就愈高，﹙因?yàn)闄z定力與β兩者機(jī)率值互補(bǔ)正好為100%﹚，如表4。
表4：雙尾t檢定，顯著水準(zhǔn)﹙α﹚＝0.01，樣本數(shù)n1＝n2＝10，在相同的樣本數(shù)下，效果差異量愈大，發(fā)生第二類型錯(cuò)誤的機(jī)率愈低，檢定力也就愈高。
因此，為確保有足夠的檢定力可以發(fā)現(xiàn)檢定對(duì)象特定的效果差異量，就要先計(jì)算需要抽取的隨機(jī)樣本數(shù)大小，方能避免β值過(guò)高，如圖2。
圖2︰雙尾t檢定，顯著水準(zhǔn)﹙α﹚＝0.01 ，為確保檢定力至少為0.8，預(yù)期偵測(cè)的效果差異量﹙﹙μ1－μ2﹚∕σ﹚與樣本數(shù)之關(guān)係。
結(jié)語(yǔ)：
在真實(shí)的隨機(jī)世界中所提出的統(tǒng)計(jì)假設(shè)是否為真，通常都無(wú)法百分百確定，只能在現(xiàn)實(shí)的條件中，儘可能的減少誤判的機(jī)率。雖然理想狀況是希望兩種錯(cuò)誤機(jī)率皆為0，但通常不存在這種情形，所以進(jìn)行假設(shè)檢定時(shí)，要事先考慮可以容忍的推論錯(cuò)誤機(jī)率，以做為判定“拒絕”或“接受”虛無(wú)假設(shè)的準(zhǔn)則。
而顯著性檢定是以保護(hù)虛無(wú)假設(shè)為原則，因此欲“拒絕”虛無(wú)假設(shè)，必須掌握“不尋常的證據(jù)”，也就是不應(yīng)該在一次試驗(yàn)中就出現(xiàn)的小機(jī)率事件，i.e. p值＜顯著水準(zhǔn)α，發(fā)生的機(jī)率要夠小才能稱為顯著，除非有顯著的差異，否則寧可維持現(xiàn)狀。
當(dāng)“拒絕”虛無(wú)假設(shè)，認(rèn)定有顯著性差異時(shí)，還要分辨統(tǒng)計(jì)顯著性﹙statistical significance﹚與實(shí)務(wù)顯著性﹙practical significance﹚之間的區(qū)別。如果觀測(cè)的的差異效果，大到某種程度，單純靠機(jī)遇或?qū)嶒?yàn)誤差產(chǎn)生這種結(jié)果的機(jī)率很小，也就是差異效果的發(fā)生并非偶然時(shí)，就稱此差異效果有統(tǒng)計(jì)顯著性。而實(shí)務(wù)顯著性則是指差異效果在真實(shí)的世界中是可以產(chǎn)生實(shí)際效用。
因?yàn)橹灰獦颖緮?shù)足夠大，即使是沒有實(shí)務(wù)效益的微小差異也會(huì)造成統(tǒng)計(jì)顯著性。因此當(dāng)檢定結(jié)果有統(tǒng)計(jì)顯著性差異時(shí)，還要特別注意其差異在真實(shí)的世界中是否有實(shí)質(zhì)意義，也就是要可以反映技術(shù)或應(yīng)用上的具體改善效益等。
參考文獻(xiàn)：
1. Montgomery, D. C. ,and Runger, G.C. ﹙2003﹚. Applied statistics and probability for engineers,Wily, New York.
