裂區(qū)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)﹙split-plot design﹚之實(shí)務(wù)運(yùn)用

前言：

　　裂區(qū)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（split-plot design）是由費(fèi)雪爵士（Sir Ronald Aylmer Fisher）所發(fā)明，起初運(yùn)用于農(nóng)業(yè)實(shí)驗(yàn)，然而許多工業(yè)實(shí)驗(yàn)在實(shí)務(wù)上也是以裂區(qū)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的方式進(jìn)行，卻被誤認(rèn)為是完全隨機(jī)實(shí)驗(yàn)（completely randomized experiment），因而作了錯(cuò)誤的資料分析。

　　當(dāng)工業(yè)實(shí)驗(yàn)面臨特定實(shí)驗(yàn)因子水準(zhǔn)不易改變或受限于經(jīng)濟(jì)效益之考量（如批量的大?。?，通常無(wú)法進(jìn)行完全隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，也就是實(shí)驗(yàn)者必須遷就現(xiàn)實(shí)，“刻意”配置實(shí)驗(yàn)因子組合的方式，讓不易改變的實(shí)驗(yàn)因子其改變水準(zhǔn)的次數(shù)最少化。在這種隨機(jī)限制（restriction on randomization）的情況下，就必須以裂區(qū)實(shí)驗(yàn)的架構(gòu)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，也就要能清楚分辨哪些是屬于全區(qū)因子（whole-plot factors），哪些是屬于副區(qū)因子（sub-plot factors），如此才能避免不正確的分析結(jié)果。

　　近年來(lái)雖然有多位統(tǒng)計(jì)專(zhuān)家針對(duì)裂區(qū)實(shí)驗(yàn)發(fā)表許多新的應(yīng)用與解析手法，但在工業(yè)實(shí)驗(yàn)方面仍然尚未受到應(yīng)有的重視與了解，本文就先以簡(jiǎn)單且典型的例子（1），也就是實(shí)驗(yàn)配置中包含一個(gè)不容易變更水準(zhǔn)的實(shí)驗(yàn)因子和一個(gè)容易變更水準(zhǔn)的實(shí)驗(yàn)因子，來(lái)說(shuō)明裂區(qū)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)以及如何正確的進(jìn)行裂區(qū)實(shí)驗(yàn)變異數(shù)分析（ANOVA）。

認(rèn)識(shí)裂區(qū)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（split-plot design）：

　　以多層陶瓷電容器（Multilayer Ceramic Capacitors）為例，欲探討燒結(jié)爐溫度變化（1300°C、1400°C、1500°C）與內(nèi)部電極不同印刷方法（P1、P2、P3、P4）對(duì)電容值的影響程度，因?yàn)楦淖儫Y(jié)爐溫度設(shè)定并達(dá)到爐內(nèi)溫度均衡相當(dāng)不容易，因此溫度水準(zhǔn)變化先採(cǎi)取逐漸升溫，再逐漸降溫的方式安排，無(wú)法採(cǎi)取完全隨機(jī)的方式進(jìn)行溫度設(shè)定，而當(dāng)每一次爐溫達(dá)到設(shè)定之實(shí)驗(yàn)溫度時(shí)，則將不同印刷方式的陶瓷電容器同時(shí)隨機(jī)放置于燒結(jié)爐內(nèi)不同的位置，實(shí)驗(yàn)配置與執(zhí)行情形，如表一。

　　此類(lèi)型因?yàn)殡S機(jī)限制所導(dǎo)致的實(shí)驗(yàn)配置稱為裂區(qū)設(shè)計(jì)。因此，裂區(qū)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)事實(shí)上包含兩種實(shí)驗(yàn)單位（experimental units），也就是全區(qū)（whole plot）與副區(qū)（sub plot），從表一得知，六次重新設(shè)定（reset）不同溫度的燒結(jié)爐稱為全區(qū)實(shí)驗(yàn)單位，而爐內(nèi)四個(gè)不同的位置則稱為副區(qū)實(shí)驗(yàn)單位。燒結(jié)爐溫度因?yàn)椴灰鬃兏O(shè)定，所以無(wú)法與不同的印刷方式做完全隨機(jī)的實(shí)驗(yàn)配置，而有隨機(jī)上的限制，因此安排為全區(qū)因子（whole-plot factors）；而不同的印刷方式則可以輕易的，完全隨機(jī)的放置于燒結(jié)爐內(nèi)不同的位置，所以安排為副區(qū)因子（sub-plot factors）。

　　乍看之下，表一的實(shí)驗(yàn)配置情形似乎與“完全隨機(jī)實(shí)驗(yàn)”沒(méi)有兩樣，但注意如果按照“完全隨機(jī)實(shí)驗(yàn)”的原則，每一種燒結(jié)爐溫度必須針對(duì)每一種印刷方式重新設(shè)定（reset）調(diào)溫，如此相同的實(shí)驗(yàn)規(guī)模，則必須進(jìn)行24次燒結(jié)爐的溫度重新設(shè)定。然而，若是按照裂區(qū)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，僅須進(jìn)行6次燒結(jié)爐的溫度重新設(shè)定，每一次爐溫達(dá)到設(shè)定之實(shí)驗(yàn)溫度時(shí)，再同時(shí)將四種印刷方式的陶瓷電容器一起隨機(jī)放置于爐內(nèi)不同的位置。但也因?yàn)閷?shí)驗(yàn)配置與進(jìn)行的方式不同，“裂區(qū)實(shí)驗(yàn)”與“完全隨機(jī)實(shí)驗(yàn)”的變異數(shù)分析方式也就不同。

分析裂區(qū)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：

　　從燒結(jié)爐加熱技術(shù)而言，因?yàn)闊Y(jié)爐溫度重新設(shè)定所產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)誤差（全區(qū)實(shí)驗(yàn)誤差）將遠(yuǎn)大于爐內(nèi)不同位置所產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)誤差（副區(qū)實(shí)驗(yàn)誤差），所以必須分別推估兩種實(shí)驗(yàn)單位所對(duì)應(yīng)產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)誤差，才能正確檢定出全區(qū)因子、副區(qū)因子或是兩者之間的交互作用是否有顯著的實(shí)驗(yàn)效應(yīng)。

　　因此，必須先將習(xí)慣的“完全隨機(jī)實(shí)驗(yàn)”的變異數(shù)分析分解成全區(qū)與副區(qū)兩部份，分別探討其不同的變異來(lái)源（sources of variation）并計(jì)算其變異。全區(qū)部份的變異數(shù)分析，如表二，包含溫度水準(zhǔn)重新設(shè)定所產(chǎn)生的變異來(lái)源與重覆三種不同溫度設(shè)定所產(chǎn)生的全區(qū)實(shí)驗(yàn)誤差（whole-plot error）。

　　副區(qū)部份的變異數(shù)分析，如表三，則包含四種不同印刷方法所產(chǎn)生的變異來(lái)源，溫度與印刷方法之交互作用所產(chǎn)生的變異來(lái)源，和四種不同印刷方法在重覆三種不同溫度設(shè)定下所產(chǎn)生的副區(qū)實(shí)驗(yàn)誤差（sub-plot error）。 

　　全區(qū)部份的變異數(shù)分析，因?yàn)闊Y(jié)爐溫度重新設(shè)定所產(chǎn)生的全區(qū)實(shí)驗(yàn)誤差偏大，自由度也偏低，因此造成統(tǒng)計(jì)檢定力（power of a statistical test）相對(duì)偏低。但本實(shí)驗(yàn)之主要目的在比較不同的印刷方法對(duì)電容值是否有顯著影響，以及印刷方法與溫度之間是否存在顯著的交互作用，所以副區(qū)部份的變異數(shù)分析因?yàn)楦眳^(qū)實(shí)驗(yàn)誤差相對(duì)小，且有相對(duì)適當(dāng)?shù)淖杂啥?，已?jīng)擁有足夠的統(tǒng)計(jì)檢定力來(lái)檢出不同的印刷方法和印刷與溫度之間交互作用的顯著實(shí)驗(yàn)效應(yīng)。

　　本例之裂區(qū)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)變異數(shù)分析中的平方和（Sum of Squares）、自由度（degree of freedom）與均方（Mean Square）的計(jì)算方法與一般“完全隨機(jī)實(shí)驗(yàn)”完全相同，但是要特別注意，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的實(shí)驗(yàn)誤差來(lái)源，也就是全區(qū)實(shí)驗(yàn)誤差和副區(qū)實(shí)驗(yàn)誤差，所以必須將變異數(shù)分析分解成全區(qū)與副區(qū)兩部份。如果未注意此現(xiàn)象，而採(cǎi)取完全隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的方式，進(jìn)行單一實(shí)驗(yàn)誤差的變異數(shù)分析，將造成不正確的分析結(jié)果，如表四。

 

結(jié)語(yǔ)

　　在工業(yè)實(shí)驗(yàn)的領(lǐng)域中，難免會(huì)遇到不易變化實(shí)驗(yàn)水準(zhǔn)的因子，此時(shí)裂區(qū)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)就是可以考慮的另一種選擇，因此認(rèn)知“裂區(qū)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)”與“完全隨機(jī)實(shí)驗(yàn)”在隨機(jī)限制上的差異和變異數(shù)分析過(guò)程的不同，對(duì)實(shí)驗(yàn)者是有其必要性。

　　從實(shí)驗(yàn)成本的角度，每變更一次實(shí)驗(yàn)因子的水準(zhǔn)必然多產(chǎn)生一筆實(shí)驗(yàn)成本，以本例而言，燒結(jié)爐溫度（全區(qū)因子）僅須重新設(shè)定溫度6次，不必像“完全隨機(jī)實(shí)驗(yàn)”必須進(jìn)行24次的溫度重新設(shè)定，因此進(jìn)行“裂區(qū)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)”會(huì)比相同規(guī)模的“完全隨機(jī)實(shí)驗(yàn)”節(jié)省許多實(shí)驗(yàn)成本。

　　但裂區(qū)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)會(huì)產(chǎn)生“全區(qū)”和“副區(qū)”兩種實(shí)驗(yàn)誤差，若誤以完全隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的方式進(jìn)行變異數(shù)分析，對(duì)全區(qū)因子而言，將造成型I錯(cuò)誤（type I error）的增加，對(duì)副區(qū)因子而言，將造成型II錯(cuò)誤（type II error）的增加，如表五。所以要切記將變異數(shù)分析區(qū)分成“全區(qū)”和“副區(qū)”兩大部分，才能同時(shí)確保裂區(qū)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)成本優(yōu)勢(shì)與準(zhǔn)確的統(tǒng)計(jì)檢定結(jié)果。

 

參考文獻(xiàn)

1. Box. G.; Hunter. W.; and Hunter. S.﹙2005﹚. Statistics for Experimenters: Design, Innovation, and Discovery, 2nd edition. New York, NY: Wiley-Inerscience.